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Consider the following two-person non-zero sum game in extensive form to minimize costs ¡ú²ZcZ&" &Ìþ "&Ìþ"-"&Ìþ"&Ìþ"K"&Ìþ"&Ìþª  ó Ÿª Ÿ¨dNormal form analysis DM1: 3 strategies, L, M, and R DM2: 23 = 8 strategies Game in normal form: ¡ÚZ8ZZ""" &Ìþ ""&Ìþ.Ìþ&Ìþ"ª e óŸª Ÿ¨RTo overcome the difficulties, we shall analyze the extensive form directly. How? ¡"SZQ"ª S óŸª Ÿ¨"Example. With a slight variation:¡$#Z  ª # óŸª Ÿ¨Game in normal form: ¡Z ª  óŸª Ÿ¨2Q. To analyze the extensive form directly. How? ¡03"/"ª 3 ó Ÿ¨!An exercise on backward inductionª " Ÿ¡Zª  ó!Ÿ¨Subgames and Subgame Perfection¡  ª4     Ÿ¨^Subgames for any non-terminal history h is the part of the game that remains after h occurred.¡H ZVZ&Ìþ"V&Ìþª W ó"Ÿ¨"Some examples that is not subgamesª&   Ÿª  ó#Ÿ¨_Location Game Example: Dynamic Game of Perfect Information Grocery Shopping on Market Street ¡0` >N%ª ` Ÿ¨GMarket Street is a one-way street. ¡HGª H ó$Ÿ¨#Consumers live along streets 1-100.¡4$ +;+;ª $ Ÿª ó%Ÿ¨H Payoffs An example: Firm 1 locates at 15 and 2 locates at 47. ¡*I.E'.ª H Ÿ jPð1(15, 47) = 47-15 = 32. Pð2 (15, 47) = 101-47 =54 ¡ª5¢ªçÿ¢‚¢ªçÿ¢‚ ‚ çÿª6 ó&ó'ó(Ÿ¨Backward Induction¡.ª  Ÿ  Fix a player 2 node i0 (player 1 has located at i0). What maximizes player 2 s payoff? First note that player 2 will always want to be at 1, i0, or i0 + 1. For example suppose player 1 has located at 4 (i.e. player 2 is at node 4). Where will 2 want to locate? Suppose player 1 has located at 75. Where will player 2 want to locate? ¡†QZ çÿ çÿ] çÿ çÿ³ª Q ó)Ÿ¨'Solving the game via backward induction¡((+ª ( Ÿ xAt node i , firm 2 plays j= i+1 if 1£ð i £ð 50 j= 1 if 51£ð i £ð 100 Back at firm i s node: Pð1(i, j ) = i+1-i if 1£ð i £ð 50 =101-i if 51£ð i £ð 100 Therefore unique subgame perfect equilibrium is: firm 1 plays 51 = i* firm 2 plays j=i+1 if 1£ð i £ð 50 and j=1 if 51£ð i £ð 100 = j* Note the way in which the strategies are stated. ¡Ì7ZOZZNZ1ZnZ3Z‚%‚‚J‚‚¢ªçÿ¢‚‚‚‚{‚‚‚‚=ª&û  º ó*Ÿ¨The end of market street¡ª  Ÿ (Equilibrium path: firm 1 plays 51, firm 2 plays 1. Payoffs Pð1(i*, j* ) = 50 and Pð2 (i*, j*) = 50 Also note that there is no first mover advantage. ¡pbZ3< ¨çÿ ¨çÿ 2$ª”  /ðTó,ó-ó.êøú ï `ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ì`ð ÿÿÿ–––ûßSÿ™fÌ3™f`ð ÿÿÿ€€€™ÌÿÌÌÿ33̯gÿ`ð Þöñ–––ÿÿÿ�Æÿf̨`ð ÿÿÙwwwÿÿ÷3ÌÌÿPPÿ™`ð €€ÿÿÿZXÿÿ™dbmoÇÿÿÿ`ð €ÿÿÿ\ßÒ“Ì3¾y`ÿÿ™Ó¢`ð ™ÿÿÿ3fÌÿÿ3f̰fÌÿÿç`ð ÿÿÿ3f™ãëñ3™FŠKfÌÿðå`ð hk]ÿÿÿwwwÑÑË��‚€ž¨ÿÌféܹ`ð ff™ÿÿÿ>>\ÿÿÿ`Y{ffÿ™Ìÿÿÿ™`ð R>&ÿÿÿ- ßÀ�Œ{p�_/Ì´Œž £>ÿý?" dÿd@ÿÿïÿÿÿÿ,£|ÿý?" dÿdØ@ÿÿïÿÿÿÿ € Ô €" Ð@€ ð`€»€ £nÿý?" dÿd@ÿÿïÿÿÿÿ   @@``€€P£R    @ ` €`£ p£>€£> ,ð$ðð¼ð( ð ððÖ ð “ ð6€ôvׇ�ƒ¿Àÿ ð­ `}ðà × ðXŸ¨ Click to edit Master title style¢!ª! ð ð ƒ ð0€ìy×�ƒ¿Àÿ ðð `ðà × ð¢Ÿ¨RClick to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level¢!    ªS ðÐ ð ƒ ð0€€~×�ƒ¿Àÿ ð^ `Šðà × ðXŸ *¡bøª ðÒ ð ƒ ð0€„×�ƒ¿Àÿ ð^°ÐŠðà  × ðZŸ *¡búª ðÒ ð ƒ ð0€Lˆ×�ƒ¿Àÿ ð^ `Šðà × ðZŸ *¡bت ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.AëÅP2~â ºDefault Designð´ñ€0 tðl`ð0ðð( ð ð0ðÌ ð0 ƒ ð0€4�*�ƒ¿Àÿ ðP ðà  * ðTŸ *¡ ùª ðÎ ð0 ƒ ð0€X£*�ƒ¿Àÿ ð� à ðà * ðVŸ *¡ øª ðd ð0 c ð$‡¿ÿ ?ð°Ð ðà *ð ð0 ƒ ð0€œ©*�ƒ¿Àÿ ð° @ Ððà * ðˆŸ 8USûQdkY‘�ÍkHr‡e,g7h_ ,{ŒN§~ ,{ N§~ ,{ÛV§~ ,{”N§~¢ ª ðÒ ð0 “ ð6€ ±*‡�ƒ¿Àÿ ð`P€ðà  * ðTŸ *¡ úª ðÔ ð0 “ ð6€,·*‡�ƒ¿Àÿ ð`� à€ðà * ðVŸ *¡ ت ðH ð0 ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îüï € ¬ð¤0ð ð<ð( ð ð ð~ ð s ð*€Ä "¿ÿˆð­ `}ðà  " ð žð~ ð s ð*€€ "¿ÿˆðð `ðà " ð žðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îäï € ”ðŒ ðð$ð( ð ððr ð S ð€ÀCî¿ÿð­ `}ðà  î ð žðr ð S ð€|Dî¿ÿðð `ðà î ð žðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìîe ï€  ð @ð ð¥ ð( ð ð ðX2 ð ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðð� ð PðRB ð @ s ð*D¿ÀÑÿðP� àðRB ð s ð*D¿ÀÑÿðPð ð� ðRB ð @ s ð*D¿ÀÑÿðà � ðX2 ð ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðà` � 𮢠ð ƒ ð0€X2"¿�ƒ¿Àÿð0 °  ðNŸ i[P[¡ 2`ª 𮢠ð ƒ ð0€ø5"¿�ƒ¿Àÿð€� @g ðNŸ ˆYˆY¡ 2`ª ð©¢ ð ƒ ð0€h9"¿�ƒ¿Àÿð@À°' ðIŸ¨a¡ 2`ª  ð©¢ ð ƒ ð0€Ô<"¿�ƒ¿ÀÿðÐ@ ` · ðIŸ¨b¡ 2`ª  ð©¢ ð ƒ ð0€¸?"¿�ƒ¿Àÿð0    ðIŸ¨A¡ 2`ª  ð©¢ ð ƒ ð0€�C"¿�ƒ¿Àÿð� @`w  ðIŸ¨B¡ 2`ª  悁ð ƒ ð0€œF"¿�ƒ¿Àÿð@P'  ðOŸ¨(0,1)¡ 2`ª ð ¢ ð ƒ ð0€8J"¿�ƒ¿ÀÿðÀ € §  ð@Ÿ¡ 2`ª  ð±¢ ð ƒ ð0€M"¿�ƒ¿Àÿð` ° G  ðQŸ¨(-1,-1)¡ 2`ª ð ¢ ð ƒ ð0€üP"¿�ƒ¿Àÿð  à ð@Ÿ¡ 2`ª  悁ð ƒ ð0€ØS"¿�ƒ¿ÀÿðÀ p§  ðOŸ¨(1,0)¡ 2`ª ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìî ï € Á ð¹ 0ð$ðQ ð( ð ð$ðr ð$ S ð€î¿ÿð­ `}ðà  î ð žðr ð$ S ð€¨î¿ÿðð `ðà î ð žðX ð$ ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðp€pðLB ð$ c ð$D¿Àÿð@ €p@ ðLB ð$ c ð$D¿Àÿðp� � ðµ¢ ð$ ƒ ð0€Dî¿�ƒ¿ÀÿðÀ  @§  ðUŸ¨ 0, 1¡ 2 `ª  ðµ¢ ð $ ƒ ð0€Äî¿�ƒ¿ÀÿðÀ € P §  ðUŸ¨ 0, 1¡ 2 `ª  ð¶¢ ð $ ƒ ð0€$î¿�ƒ¿Àÿð` ppG  ðVŸ¨ -1, -1¡ 2 `ª  ðµ¢ ð $ ƒ ð0€x¶å¿�ƒ¿Àÿð� € w  ðUŸ¨ 1, 0¡ 2 `ª  𮢠ð $ ƒ ð0€€hå¿�ƒ¿Àÿð€ ðÐg  ðNŸ i[P[¡ 2`ª ð©¢ ð $ ƒ ð0€kå¿�ƒ¿Àÿð�  w  ðIŸ¨a¡ 2`ª  ð©¢ ð$ ƒ ð0€Dbå¿�ƒ¿Àÿð`  G  ðIŸ¨b¡ 2`ª  𮢠ð$ ƒ ð0€èdå¿�ƒ¿Àÿðp ç ðNŸ ˆYˆY¡ 2`ª ð©¢ ð$ ƒ ð0€(På¿�ƒ¿ÀÿðP`à7 ðIŸ¨A¡ 2`ª  ð©¢ ð$ ƒ ð0€LSå¿�ƒ¿ÀÿðP ² 7 ðIŸ¨B¡ 2`ª  ðH ð$ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìîäï € ”ðŒ@ð(ð$ð( ð ð(ðr ð( S ð€ Zå¿ÿð­ `}ðà  å ð žðr ð( S ð€[å¿ÿðð `ðà å ð žðH ð( ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìî$ï € ”ðŒPðð$ð( ð ððr ð S ð€Äå¿ÿð­ `}ðà  å ð žðr ð S ð€€å¿ÿðð `ðà å ð žðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.BëÅ�Ϙlî$ï € ”ðŒ`ðð$ð( ð ððr ð S ð€ˆ å¿ÿð­ `}ðà  å ð žðr ð S ð€D å¿ÿðð `ðà å ð žðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.EëÅÐÏ—�î$ï € ”ðŒ ðð$ð( ð ððr ð S ð€Xõ׿ÿð­ `}ðà  × ð žðr ð S ð€ö׿ÿðð `ðà × ð žðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.IëÅPA(îï €ùÿÿÿ §ðŸ ð @ð7ð( ð ð@ð~ ð@ s ð*€¬ø*¿ÿˆð­ `}ðà  * ð žðx ð@ c ð$€8Ñ¿ÿˆð‰ûÿ ðà * ð žð޲ ð@ c ð&AÁ ?�?ð¡ 5ò "ð8Á $ñD0ð¬2 ð@ ³ ðB¿¿ ÀÿËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðº N`ã ð,$ñD0ð� ð@ ƒ ð0€Ñ�ƒ¿Àÿ ðH ¦ Óð,$ñD0 ðùŸ¨eQ. How to solve it? Two methods: M1 ~ Convert to normal form M2 ~ Deal directly in extensive form ¡d D    B  ª f ððz ð—, [  ð@ ðˆð, — [ ð,$ñD0ð€2 ð@ ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð—, ¨U ð€2 ð @ ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðO, `U ð€2 ð @ ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðû2 [ ðH ð@ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²î|1ï €ùÿÿÿ 1ð 1°ðDDDð¤0ð( ð ðDðx ðD c ð$€äÑ¿ÿˆðþû èðà Ñ ð žððz ð5¡ ò " ðD ðˆðø2 ïyð,$ñD0ð–² ðD c ð&AÁ ?�?ð5¡ ò "ð8Á $ñD0ð´2 ðD ³ ðB¿¿ ÀÿËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðHº Zã ð,$ñD0ð"ð‚ ð—, [  ðD ðˆð—, [ ð,$ñD0ð€2 ðD ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð—, ¨U ð€2 ðD ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðO, `U ð€2 ð D ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðû2 [ ðZ&ð¤ ðˆÎ8b  ð D ðˆ#"ñ"Ÿ Ãðôˆ8S ð,$ñD0ðÝ ð D £ ð<€ŒË*¿�ƒ¿Àÿ?ð½ 8b  ðiŸ¨(-1, 0)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ð D £ ð<€ð/Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ð½ b  ðhŸ¨(2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ð D £ ð<€ü7Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðè½ b  ðiŸ¨(-1, 0)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€x?Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðÌ ½ èb  ðhŸ¨(2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ðD £ ð<€¤AÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð³ ½ Ì b  ðiŸ¨(-1, 0)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€„OÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð—½ ³ b  ðhŸ¨(2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ðD £ ð<€üOÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð|½ —b  ðiŸ¨(-1, 0)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€0_Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðb½ |b  ðhŸ¨(2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÕ ðD £ ð<€ì_Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðˆ½ bb  ðaŸ¨R¡Ìþª  ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€@nÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð 8½  ðhŸ¨(0, 3)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€àhÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð ½  ðhŸ¨(0, 3)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€Ôô*¿�ƒ¿Àÿ?ðè ½  ðhŸ¨(3, 2)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€˜„Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðÌ  è½  ðhŸ¨(3, 2)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€�ŒÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð³  Ì ½  ðhŸ¨(0, 3)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€”Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ð— ³ ½  ðhŸ¨(0, 3)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€ø›Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ð| —½  ðhŸ¨(3, 2)¡"ª ¦ø @`€ðÜ ðD £ ð<€à£Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðb |½  ðhŸ¨(3, 2)¡"ª ¦ø @`€ðÕ ðD £ ð<€È«Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðˆ b½  ðaŸ¨M¡Ìþª  ¦ø @`€ðÝ ðD £ ð<€°³Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðs8  ðiŸ¨(-2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ðD £ ð<€˜»Ñ¿�ƒ¿Àÿ?ðs  ðiŸ¨(-2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ðD £ ð<€€ÃÑ¿�ƒ¿Àÿ?ðès  ðiŸ¨(-2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ð D £ ð<€hËÑ¿�ƒ¿Àÿ?ðÌ sè  ðiŸ¨(-2, 1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ð!D £ ð<€PÓÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð³ sÌ   ðiŸ¨(0, -1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ð"D £ ð<€8ÛÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð—s³   ðiŸ¨(0, -1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ð#D £ ð<€ ãÑ¿�ƒ¿Àÿ?ð|s—  ðiŸ¨(0, -1)¡"ª ¦ø @`€ðÝ ð$D £ ð<€ëÑ¿�ƒ¿Àÿ?ðbs|  ðiŸ¨(0, -1)¡"ª ¦ø @`€ðÕ ð%D £ ð<€ðòÑ¿�ƒ¿Àÿ?ðˆsb  ðaŸ¨L¡Ìþª  ¦ø @`€ð× ð&D £ ð<€ØúÑ¿�ƒ¿Àÿ?ðÎ8s ðcŸ¨RRR¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð'D £ ð<€¸Ò¿�ƒ¿Àÿ?ðÎs ðcŸ¨RRL¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð(D £ ð<€�ÿÑ¿�ƒ¿Àÿ?ðèÎs ðcŸ¨RLR¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð)D £ ð<€ÀÒ¿�ƒ¿Àÿ?ðÌ Îès ðcŸ¨RLL¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð*D £ ð<€Ò¿�ƒ¿Àÿ?ð³ ÎÌ s ðcŸ¨LRR¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð+D £ ð<€„%Ò¿�ƒ¿Àÿ?ð—γ s ðcŸ¨LRL¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð,D £ ð<€Ì-Ò¿�ƒ¿Àÿ?ð|Ηs ðcŸ¨LLR¡3fþª  ¦ø @`€ð× ð-D £ ð<€È5Ò¿�ƒ¿Àÿ?ðbÎ|s ðcŸ¨LLL¡3fþª  ¦ø @`€ðÕ ð.D £ ð<€Ø=Ò¿�ƒ¿Àÿ?ðˆÎbs ðaŸ¨DM1\2¡ª  ¦ø @`€ð`B ð/D ƒ ð0¿ÀËŸo×ÿ ?¿ðˆÎ8ÎðZB ð0D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðˆs8sðZB ð1D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðˆ 8 ðZB ð2D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðˆ½ 8½ ð`B ð3D ƒ ð0¿ÀËŸo×ÿ ?¿ðˆb 8b ð`B ð4D ƒ ð0¿ÀËŸo×ÿ ?¿ðˆÎˆb ðZB ð5D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðbÎbb ðZB ð6D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ð|Î|b ðZB ð7D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ð—Ηb ðZB ð8D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ð³ γ b ðZB ð9D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðÌ ÎÌ b ðZB ð:D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðèÎèb ðZB ð;D s ð*¿ÀËœ1ÿ ?¿ðÎb ðZB ðD “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð$‚h ð,$ñD0ð’" ð?D “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðT •{< ð,$ñD0ð’" ð@D “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð(¬’ ð,$ñD0ð’" ðAD “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðS Í ³ ; ð,$ñD0ðà ðBD ƒ ð0€$JÒ�ƒ¿Àÿ ðÁ û„$ð,$ñD0 ðLŸ¨¼Q. Major difficulties? Dimensionality can be very large (Recall the DP example) Dynamic aspects are not appropriately considered Which of the four Nash solutions will actually happen? ¡`l8  l 6 ª ½ ð’" ðCD “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿ𦠎ð,$ñD0ð’" ðDD “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿ𤱠Œð,$ñD0ðH ðD ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îûï €ù^ “ð‹ÀðHð#ð( ð ðHðx ðH c ð$€|‰Ò¿ÿˆðû¯hðà Ò ð žð޲ ðH c ð&AÁ ?�?ð†Ö“ ð8Á $ñD0ð¬2 ðH ³ ðB¿¿ ÀÿËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðŸéûÈð,$ñD0ðòðz ð™, [  ðH ðˆð8¨ @ð,$ñD0ð€2 ðH ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð™, ªU ðä ðH £ ð<€¨�Ò�œ1‚œ1ƒœ1„œ1ŠH¿ÿ?"ñ¿€ðÃj �+  ðbŸ¨2A¡$0 e3fþª  ðä ðH £ ð<€“Ò�œ1‚œ1ƒœ1„œ1ŠH¿ÿ?"ñ¿€ð= b #  ðbŸ¨2B¡$0 e3fþª  ð€2 ð H ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðQ, bU ð€2 ð H ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðý2  [ ðŒB ð H@ ƒ ð0D¿À€Ë8cÑÿð&0½Øð,$ñD0ðŒB ð H@ ƒ ð0D¿À€Ë8cÑÿðâoÊð,$ñD0ðŒB ð H ƒ ð0D¿À€Ë8cÑÿð BϽð,$ñD0ðÌðz ðßM   ðH ðˆð2~ úð,$ñD 0ðf" ðH “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËœ1ÿðßU yðf" ðH “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËœ1ÿðÂM \ ðf" ðH “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËœ1ÿðå W  ðŒB ðH ƒ ð0D¿ÀÿË8cÑÿð½Íthð,$ñD 0ð’" ðH “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðWº )ð,$ñD 0ð# ðH ƒ ð0€8›Ò�ƒ¿Àÿ ð› û¯Äð,$ñD 0 ð�Ÿ¨ÏThe solution process is backward induction Starting from leaf nodes and work backward until the root node is reached, each time solve a simple problem Then moving forward from the root to obtain the solution¡�+¥ $ÿþ$Ìþ" $ÌþB  Ìþ% ª Ð ð; ðH ƒ ð0€üŸÒ�ƒ¿Àÿ ðû¯¥ ð,$ñD0 𧟨MQ. If DM1 selected L, what should DM2 do? How about if DM1 selected M or R?¡*N ( $ª N ðK ðH ƒ ð0€ ¢Ò�ƒ¿Àÿ ðZ( ø~ð,$ñD0 𷟨[The solution is unique (0, -1) is not a solution since DM1 who acts first will not select L¡,\ $ÌþE ª \ ð’² ðH “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðþi–6ð,$ñD0ð ðH ƒ ð0€¤¬Ò�ƒ¿Àÿ ðL( øoð,$ñD0 ð„Ÿ¨8Extensive form is a reasonable approach for this problem¡98 ª 9 ðî ðH # ð’B~CMDEÁ FÁ�ƒ¿ÀÿÄËjJÑÔÕÿˆðÿŠ~M@¬¬¬€ðQîl žð,$ñD 0ðH ðH ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²î§ ï €ù^ ? ð7 Ðð LðÏ ð( ð ðLðx ðL c ð$€ÐhÒ¿ÿˆð4ûÿ–ðà Ò ð žð޲ ðL c ð&AÁ ?�?ðÒ †ð8Á $ñD0ð¬2 ðL ³ ðB¿¿ ÀÿËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð(:Gð,$ñD0ðjðz ðs, é U  ðL ðˆð�qç ¹ð,$ñD0ð€2 ðL ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðs, „U ð€" ðL ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð#F û N ðä ðL £ ð<€˜oÒ�œ1‚œ1ƒœ1„œ1ŠL¿ÿ?"ñ¿€ð£j o+  ðbŸ¨2A¡$0 eÿþª  ðä ð L £ ð<€sÒ�œ1‚œ1ƒœ1„œ1Š L¿ÿ?"ñ¿€ð b é #  ðbŸ¨2B¡$0 eÿþª  ð ð L ƒ ð0€4wÒ�ƒ¿Àÿ ð$’ Kùð,$ñD0 ð}Ÿ¨7If DM1 selected M or R, DM2 does not know how DM1 acted¡88"ª 8 ð@ ð L ƒ ð0€0uÒ�ƒ¿Àÿ ðîû¯ð,$ñD0 𬟨¶Again there are two methods: M1 ~ Convert to a normal form M2 ~ Deal directly in extensive form Normal form analysis: How? DM1: 3 strategies, L, M, and R DM2: 22 = 4 strategies ¡ÆF8 D     $Ìþ,Ìþ$Ìþª · ðú ð L ƒ ð0€°±Ò�ƒ¿Àÿ ð6ž ,ƒð,$ñD0 ðfŸ¨Q. How to solve it?¡"  ª  ðH ðL ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îÏ-ï €ùÿÿÿ g-ð_-ððNNTð÷,ð( ð ðTðx ðT c ð$€”Ñ¿ÿˆð"ûÂuðà Ò ð žð"ðF ð7¡ " ðT ðˆðõg 9vð–² ðT c ð&AÁ ?�?ð7¡ ô "ð8Á $ñD0ð´2 ðT ³ ðB¿¿ ÀÿËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðJº \ã ð,$ñD0ðrð‚ ðs, é U  ðT ðˆð“, U ð,$ñD0ð€2 ðT ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðs, „U ð€" ðT ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð#F û N ðä ð T £ ð<€ ýÑ�œ1‚œ1ƒœ1„œ1Š T¿ÿ?"ñ¿€ð£j o+  ðbŸ¨2A¡$0 eÿþª  ðä ð T £ ð<€ü¿Ò�œ1‚œ1ƒœ1„œ1Š T¿ÿ?"ñ¿€ð b é #  ðbŸ¨2B¡$0 eÿþª  ð#ð€ ðþÿÿÿþÿÿÿÖ 6 ð T# ð ˆð #ig ð,$ñD0ð"ðN ðÔ 4 ð T ðˆðÔ 4ð±ðN ð|Í ð T ðˆð|Íðñ ðT “ ð6€ ÅÒ¿�ƒ¿Àÿð+QÍ ðƒŸ¨DM1\DM2¡20ccª  ¦ذˆðZ ðT s ð*�ƒ¿À   Ëÿð|Íð®ðN ð|Í ðT ðˆð|Íðî ðT “ ð6€€ÄÒ¿�ƒ¿Àÿð§çÍ ð€Ÿ¨LL¡40ãcª  ¦ذˆðZ ðT s ð*�ƒ¿À   Ëÿð|Íð®ðN ð¨Í ðT ðˆð¨Íðî ðT “ ð6€HØÒ¿�ƒ¿Àÿð=}Í ð€Ÿ¨LR¡40ãcª  ¦ذˆðZ ðT s ð*�ƒ¿À   Ëÿð¨ÍðœðN ð¨> Í ðT ðˆð¨> ÍðÜ ðT “ ð6€”áÒ¿�ƒ¿ÀÿðÓ Í ðnŸ¨RL¡"0cª  ¦ذˆðZ ðT s ð*�ƒ¿À   Ëÿð¨> Íð®ðN ð> Ô Í ðT ðˆð> Ô Íðî ðT “ ð6€ìÒ¿�ƒ¿Àÿði © Í ð€Ÿ¨RR¡40ãcª  ¦ذˆðZ ðT s ð*�ƒ¿À   Ëÿð> Ô Íð«ðN ðÍ|š ðT ðˆðÍ|šðë ðT “ ð6€ŒôÒ¿�ƒ¿Àÿð+ÍQš ð}Ÿ¨L¡20ccª  ¦ذˆðZ ðT s ð*�ƒ¿À   ËÿðÍ|šð³ðN ð|Íš ðT ðˆð|Íšðó ð T “ ð6€”á¿�ƒ¿Àÿð§Íçš ð…Ÿ¨(0, -1)¡20ccª ¦ذˆðZ ð!T s ð*�ƒ¿À   Ëÿð|Íšð£ðN ðͨš ð"T ðˆðͨšðã ð#T “ ð6€X á¿�ƒ¿Àÿð=Í}š ðuŸ¨(0, -1)¡"0cª ¦ذˆðZ ð$T s ð*�ƒ¿À   Ëÿðͨšð£ðN ð¨Í> š ð%T ðˆð¨Í> šðã ð&T “ ð6€á¿�ƒ¿ÀÿðÓÍ š ðuŸ¨(-2, 1)¡"0cª ¦ذˆðZ ð'T s ð*�ƒ¿À   Ëÿð¨Í> šð£ðN ð> ÍÔ š ð(T ðˆð> ÍÔ šðã ð)T “ ð6€Tá¿�ƒ¿Àÿði Í© š ðuŸ¨(-2, 1)¡"0cª ¦ذˆðZ ð*T s ð*�ƒ¿À   Ëÿð> ÍÔ šð«ðN ðš|g ð+T ðˆðš|gðë ð,T “ ð6€Ø#á¿�ƒ¿Àÿð+šQg ð}Ÿ¨M¡20ccª  ¦ذˆðZ ð-T s ð*�ƒ¿À   Ëÿðš|gð²ðN ð|šg ð.T ðˆð|šgðò ð/T “ ð6€`-á¿�ƒ¿Àÿð§šçg ð„Ÿ¨(3, 2)¡20ccª ¦ذˆðZ ð0T s ð*�ƒ¿À   Ëÿð|šgð¢ðN ðš¨g ð1T ðˆðš¨gðâ ð2T “ ð6€$7á¿�ƒ¿Àÿð=š}g ðtŸ¨(0, 3)¡"0cª ¦ذˆðZ ð3T s ð*�ƒ¿À   Ëÿðš¨gð¢ðN ð¨š> g ð4T ðˆð¨š> gðâ ð5T “ ð6€ä?á¿�ƒ¿ÀÿðÓš g ðtŸ¨(3, 2)¡"0cª ¦ذˆðZ ð6T s ð*�ƒ¿À   Ëÿð¨š> gð¢ðN ð> šÔ g ð7T ðˆð> šÔ gðâ ð8T “ ð6€ šÔ gð«ðN ðg|4 ð:T ðˆðg|4ðë ð;T “ ð6€8Rá¿�ƒ¿Àÿð+gQ4 ð}Ÿ¨R¡20ccª  ¦ذˆðZ ðT “ ð6€˜[á¿�ƒ¿Àÿð§gç4 ð„Ÿ¨(2, 1)¡20ccª ¦ذˆðZ ð?T s ð*�ƒ¿À   Ëÿð|g4ð£ðN ðg¨4 ð@T ðˆðg¨4ðã ðAT “ ð6€eá¿�ƒ¿Àÿð=g}4 ðuŸ¨(-1, 0)¡"0cª ¦ذˆðZ ðBT s ð*�ƒ¿À   Ëÿðg¨4ð¢ðN ð¨g> 4 ðCT ðˆð¨g> 4ðâ ðDT “ ð6€Lná¿�ƒ¿ÀÿðÓg 4 ðtŸ¨(2, 1)¡"0cª ¦ذˆðZ ðET s ð*�ƒ¿À   Ëÿð¨g> 4ð£ðN ð> gÔ 4 ðFT ðˆð> gÔ 4ðã ðGT “ ð6€(vá¿�ƒ¿Àÿði g© 4 ðuŸ¨(-1, 0)¡"0cª ¦ذˆðZ ðHT s ð*�ƒ¿À   Ëÿð> gÔ 4ðZ ðIT s ð*�ƒ¿À   ËÎÿðþÿÿÿþÿÿÿÖ 6ð’" ðJT “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð9cm-ð,$ñD0ð’" ðKT “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð_ E O S ð,$ñD0ð— ðLT ƒ ð0€<€á�ƒ¿Àÿ ðÁ û„$ð,$ñD0 ðŸ¨}Q. Major difficulties? Same as before Dimensionality can be very large Dynamic aspects are not appropriately considered ¡VT   T ª ~ ð’" ðMT “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð  N”ð,$ñD0ð’" ðNT “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð‘ñ7…ð,$ñD0ðH ðT ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²î‰&ï €ù^ !&ð&ð::\ð±%ð( ð ð\ðx ð\ c ð$€�§á¿ÿˆðîû„eðà á ð žðVðz ð7¡ " ð\ ðˆð9 ׺ð,$ñD0ð–² ð\ c ð&AÁ ?�?ð7¡ ô "ð8Á $ñD0ð´2 ð\ ³ ðB¿¿ ÀÿËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðJº \ã ð,$ñD0ðrð‚ ðs, é U  ð\ ðˆð“, U ð,$ñD0ð€2 ð\ ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ðs, „U ð€" ð\ ³ ðB¿¿ À€ËjJÎÿ?¿ÿ"ñ¿€ð#F û N ðä ð \ £ ð<€H¯á�œ1‚œ1ƒœ1„œ1Š \¿ÿ?"ñ¿€ð£j o+  ðbŸ¨2A¡$0 eÿþª  ðä ð \ £ ð<€4³á�œ1‚œ1ƒœ1„œ1Š \¿ÿ?"ñ¿€ð b é #  ðbŸ¨2B¡$0 eÿþª  ðn ð \ ƒ ð0€L·á�ƒ¿Àÿ ð/ûã áð,$ñD0 ðÚŸ¨\Q. At information set 2A, what should DM2 do? How about at 2B? What should DM1 select?¡N] ,   ª ] ð ð \ ƒ ð0€»á�ƒ¿Àÿ ðû„<ð,$ñD0 ðzŸ¨.At 2A, DM2 should select L with costs (0, -1) ¡/- ª / ð¶ð€ ðþÿÿÿþÿÿÿ¸ i ð \# ð ˆð§ ,1 ¾ ð,$ñD0ðÄðN ð¶ g ð\ ðˆð¶ gð±ðN ð‰Í ð\ ðˆð‰Íðñ ð\ “ ð6€Áá¿�ƒ¿Àÿð+^Í ðƒŸ¨DM1\DM2¡20ccª  ¦ذˆðZ ð\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð‰Íð«ðN ð‰-Í ð\ ðˆð‰-Íðë ð\ “ ð6€ˆÊá¿�ƒ¿Àÿð´Í ð}Ÿ¨L¡20ccª  ¦ذˆðZ ð\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð‰-Íð«ðN ð-¶ Í ð\ ðˆð-¶ Íðë ð\ “ ð6€0Ôá¿�ƒ¿ÀÿðX‹ Í ð}Ÿ¨R¡20ccª  ¦ذˆðZ ð\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð-¶ Íð«ðN ð͉š ð\ ðˆð͉šðë ð\ “ ð6€üÝá¿�ƒ¿Àÿð+Í^š ð}Ÿ¨M¡20ccª  ¦ذˆðZ ð\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð͉šð²ðN ð‰Í-š ð\ ðˆð‰Í-šðò ð\ “ ð6€(çá¿�ƒ¿Àÿð´Íš ð„Ÿ¨(3, 2)¡20ccª ¦ذˆðZ ð\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð‰Í-šð²ðN ð-Ͷ š ð\ ðˆð-Ͷ šðò ð\ “ ð6€ˆðá¿�ƒ¿ÀÿðXÍ‹ š ð„Ÿ¨(0, 3)¡20ccª ¦ذˆðZ ð \ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð-Ͷ šð«ðN ðš‰g ð!\ ðˆðš‰gðë ð"\ “ ð6€úá¿�ƒ¿Àÿð+š^g ð}Ÿ¨R¡20ccª  ¦ذˆðZ ð#\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿðš‰gð²ðN ð‰š-g ð$\ ðˆð‰š-gðò ð%\ “ ð6€Ðâ¿�ƒ¿Àÿð´šg ð„Ÿ¨(2, 1)¡20ccª ¦ذˆðZ ð&\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð‰š-gð³ðN ð-š¶ g ð'\ ðˆð-š¶ gðó ð(\ “ ð6€t â¿�ƒ¿ÀÿðXš‹ g ð…Ÿ¨(-1, 0)¡20ccª ¦ذˆðZ ð)\ s ð*�ƒ¿À   Ëÿð-š¶ gðZ ð*\ s ð*�ƒ¿À   ËÎÿðþÿÿÿþÿÿÿ¸ ið’" ð+\ “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðÐ W a ¯ ð,$ñD0ð޲ ð,\ c ð&AÁ ?�?ð” =d¬ ð8Á $ñD0ð% ð-\ ƒ ð0€ â�ƒ¿Àÿ ðõ û„@ð,$ñD 0 𑟨7Q. What problem does DM1 face? How should he select? ¡*8 4 ª 8 ð’" ð.\ “ ð6…‡�ƒ¿À€ËjJÿðë¯ ÌÊð,$ñD0ð¸B ð/\@ Ó ðN¿D¿À€Ë8cÑÿ?¿ÿ"ñ¿€ðæIÞ¢ð,$ñD0ð¸B ð0\ Ó ðN¿D¿À€Ë8cÑÿ?¿ÿ"ñ¿€ðÔx”ð,$ñD 0ð¸B ð1\ Ó ðN¿D¿À€Ë8cÑÿ?¿ÿ"ñ¿€ðÌÇWŒð,$ñD 0ð¸B ð2\ Ó ðN¿D¿ÀÿË8cÑÿ?¿ÿ"ñ¿€ðaãÛ9ð,$ñD 0ð’" ð3\ “ ð6…‡�ƒ¿À€ËjJÿðä£ÀÃð,$ñD 0ð’" ð4\ “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðÙ Kh¸ ð,$ñD0ð’² ð5\ “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿð£ Ðúð,$ñD0ð$ ð6\ ƒ ð0€| â�ƒ¿Àÿ ð4û„t ð,$ñD0 ð�Ÿ¨,At 2B, DM2 faces the following normal game: ¡4-  $Ìþ ª - ð’" ð7\ “ ð6…‡�ƒ¿ÀÿËjJÿðÃÝòð,$ñD0ð¸B ð8\ Ó ðN¿D¿ÀÿË8cÑÿ?¿ÿ"ñ¿€ðÙ ª™ ð,$ñD0ð ð9\ ƒ ð0€Œ&â�ƒ¿Àÿ ðÿ û¯0ð,$ñD0 ð|Ÿ¨*The solution process is backward induction¡"+ $ÿþª + ðî ð:\ # ð’BpC@DEÁ FÁ�ƒ¿ÀÿÄËjJÑÔÕÿˆðÿŠp@@¬¬¬€ð*šYð,$ñD0ðH ð\ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²î¶ï €ù^ NðF0ð dðÞð( ð ðdð~ ðd s ð*€XÒ¿ÿˆð­ `}ðà  Ò ð žð~ ðd s ð*€eÒ¿ÿˆðð `Jðà Ò ð žð޲ ðd c ð&AÁ  ?�?ðÙƒ™ ð8Á  $ñD0ð¶B ðd@ ó ðZ¿D¿À€Ë8cÑÔÕÿ?¿ÿðW . 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That is, first firm 1 locates and then firm 2. ¡Bp01cc1cªo  ðXÒ ð p@ ƒ ð0…‡�ƒ¿ÀÿðÑ � )” ðH ðp ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²î7ï € çðßpðtðwð( ð ðtðª ðt s ð*€ü…â¿ÿˆð­ `}ð<$ñ0à  â ð žðLB ðt c ð$D¿ÀÿðÐÐ@ ðLB ðt c ð$D¿Àÿð@ Ð�@ ðLB ðtÀ c ð$D¿Àÿð0��@ ðLB ðt€ c ð$D¿Àÿð0€€@ ðLB ðt€ c ð$D¿Àÿð0@ ðLB ðt€ c ð$D¿Àÿð0€ € @ ðX2 ð t ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð ÀðÐðX2 ð t ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð °àÐðX2 ð t ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð  0 ÐðLB ð t c ð$D¿ÀÿÿðÀ  Ð À ðLB ð t c ð$D¿ÀÿÿðÀ À ° À ðLB ðt c ð$D¿ÀÿÿðÀ p`À ðLB ðt€ c ð$D¿Àÿð0  @ ðRB ðt€ s ð*D¿ÀÑÿð�@@àðRB ðt@ s ð*D¿ÀÑÿðPP`Pð½¢ ðt £ ð<€¤‘â…‡¿�ƒ¿Àÿð·6ïd ðQŸ¨N¡ 0c ª  ð½¢ ðt £ ð<€„•â…‡¿�ƒ¿Àÿð&õ´ ðQŸ¨W¡ 0c ª  ð¿¢ ðt £ ð<€L™â…‡¿�ƒ¿Àÿð@ p4:  ðSŸ¨1¡ 0cª ð¿¢ ðt £ ð<€�â…‡¿�ƒ¿ÀÿðI F C  ðSŸ¨2¡ 0cª ð¿¢ ðt £ ð<€èzâ…‡¿�ƒ¿ÀÿðI ÆŠC  ðSŸ¨3¡ 0cª ð½¢ ðt £ ð<€Àyâ…‡¿�ƒ¿Àÿð F æ   ðQŸ¨i¡ 0cª  ð´¢ ðt ƒ ð0€Ä£â¿�ƒ¿ÀÿðI zC  ðTŸ¨99¡ 0cª ðÁ¢ ðt £ ð<€|§â…‡¿�ƒ¿ÀÿðI †êC  ðUŸ¨100¡ 0cª ðR2 ðt s ð*…‡�¿Àÿð  @ ðR2 ðt s ð*…‡�¿Àÿð `À@ 𔢠ðt £ ð<€Ä«â…‡¿�ƒ¿Àÿðz Ö¡f ð(Ÿ¨”Consumers drive to market street, then drive west on market street (there are no left turns onto market street) until they reach a grocery store. ¡d•0'c c+cc4cª • ðH ðt ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²î‘ ï € A ð9 €ðxðÑ ð( ð ðxðª ðx s ð*€È¾â¿ÿˆð, û…= ð<$ñ0à  â ð žðLB ðx c ð$D¿Àÿð(ðLB ðx c ð$D¿Àÿð(À (ðLB ðx€ c ð$D¿Àÿð8À À (ðLB ðx€ c ð$D¿Àÿð€€(ðLB ðx€ c ð$D¿Àÿððð(ðÀ¢ ðx £ ð<€ÐÃâ…‡¿�ƒ¿Àÿð1FZ+  ðTŸ¨15¡ 0cª ðÀ¢ ð x £ ð<€Çâ…‡¿�ƒ¿Àÿð1†š+  ðTŸ¨47¡ 0cª ðX2 ð x ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðø€°(ðX2 ð x ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðøð (ð¢ ð x £ ð<€tËâ…‡¿�ƒ¿Àÿð¿¦l ðVŸ¨Firm 1¡ 0c ª  ð¢ ð x £ ð<€Ïâ…‡¿�ƒ¿Àÿð¿F½l ðVŸ¨Firm 2¡ 0c ª  ð¢ ðx £ ð<€ÐÑâ…‡¿�ƒ¿Àÿðþ­Ñ 𱟨=Consumers: 1 consumer uniformly distributed on each street. ¡D>0cgcª > ðà ðx “ ð6€lÖâ‡�ƒ¿Àÿ ð5 û…¹ ð,$ñ0 ðFŸ ¨Since firm 1 gets all consumers who live on 15th St, 16th St, & 45th St and 46th St. ¡nU.          ª U ð ðx ³ ðB€dÜâ�ƒ¿Àÿ ˆð û„<ð<$ñ0à â ð žðÁ¢ ðx £ ð<€¨åâ…‡¿�ƒ¿ÀÿðPP ´ J  ðUŸ¨100¡ 0cª ð¿¢ ðx £ ð<€¤èâ…‡¿�ƒ¿ÀÿðF¨l@  ðSŸ¨1¡ 0cª ðH ðx ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îï€ ÈðÀ�ð##|ðXð( ð ð|ð¶¢ ð| £ ð<€ã…‡¿�ƒ¿Àÿðª6ù° ðJŸ œNow let s use backward induction to find all subgame perfect Nash equilibrium.¡dO0cc c!ccª&,   ð"¢ ð| ƒ ð0€ã¿�ƒ¿Àÿðp–6v ðŸ¨XRecall that subgame perfection is an equilibrium refinement concept. If SGPNE then NE. ¡ Y0Ycª&   F ðLB ð| c ð$D¿Àÿð à 0€ðµ2 ð| ƒ ð0€pã…‡�¿Àÿð@ à  ðUŸ¨1¡"0cª ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðð 0 ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðð� À ð½¢ ð| £ ð<€$ÿâ…‡¿�ƒ¿Àÿði¶ V c ðQŸ¨i¡ 0cª  ðX2 ð | ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðð€ à ðX2 ð | ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿððp Ð ðX2 ð | ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿðð` À ðÁ¢ ð | £ ð<€ ~â…‡¿�ƒ¿ÀÿðWÖ + ðUŸ¨100¡ 0cª ð½¢ ð | £ ð<€¼ã…‡¿�ƒ¿Àÿðèv2Ï ðQŸ¨1¡0aª ð½¢ ð| £ ð<€ ã…‡¿�ƒ¿ÀÿðHf" / ðQŸ¨2¡0aª ðLB ð|@ c ð$D¿Àÿð`  ðLB ð|@ c ð$D¿ÀÿðÐ @ðLB ð| c ð$D¿Àÿð P 0 ðLB ð|@ c ð$D¿Àÿð` àP À ðLB ð|@ c ð$D¿Àÿð` 0 P À ðLB ð| c ð$D¿Àÿð` € ` À ðLB ð| c ð$D¿Àÿð` € 0 ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð@ À ð p ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð@ P € p ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð@ à  p 𻢠ð| £ ð<€ã…‡¿�ƒ¿Àÿð˜ f    ðOŸ¨j¡0aª  ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð ð @ ðX2 ð| ƒ ð0…‡�ƒ¿Àÿð 0 @ ð¿¢ ð| £ ð<€0ã…‡¿�ƒ¿Àÿð8 Ö "  ðSŸ¨100¡0aª ð½¢ ð| £ ð<€`!ã…‡¿�ƒ¿Àÿðh ¦bO  ðQŸ¨1¡0aª ð½¢ ð| £ ð<€Ü#ã…‡¿�ƒ¿ÀÿðÈ & â ¯  ðQŸ¨2¡0aª ðµ2 ð| ƒ ð0€¤'ã…‡�¿Àÿð@p`0  ðUŸ¨2¡"0cª ð»2 ð | “ ð6€l+ã…‡�¿Àÿð P`  ðUŸ¨2¡"0cª ð»2 ð!| “ ð6€ô.ã…‡�¿Àÿð€0ð@ ðUŸ¨2¡"0cª ð»2 ð"| “ ð6€$2ã…‡�¿Àÿð ð  ð  ðUŸ¨2¡"0cª ðé¢ ð#| £ ð<€d5ã…‡¿�ƒ¿Àÿðj fPŠ ð}Ÿ¨-What are the pay-offs to Player 1? Player 2?¡ .0.cª . ðH ð| ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îPï€ ðø ð€ð�ð( ð ð€ð\¢ ð€ £ ð<€ŒKã…‡¿�ƒ¿ÀÿðÖ¦ 5 ððŸ :Payoffs: Pði (i,j) = 101-i if i>j (101-i)/2 if i=j j-i if i<j ¡zž0 cãëçÿãŒãc ª�  𪢠ð€ ƒ ð0€j (101-i)/2 if i=j 101-j if i<j ¡l› #¦'®'çÿ¦'‰†'@ª › ðH ð€ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îjï € ð°ð„ðªð( ð ð„ðª ð„ s ð*€\¹â¿ÿˆð­ `}ð<$ñ0à  â ð žðÀ ð„ s ð*€�¢ã¿ÿˆðð `ð<$ñ0à â ð"ž¦ø€p`PpðH ð„ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îjï € ðÀðˆðªð( ð ðˆðª ðˆ s ð*€L“ã¿ÿˆð­ `}ð<$ñ0à  ã ð žðÀ ðˆ s ð*€0—ã¿ÿˆðð `ð<$ñ0à ã ð"ž¦ø€p`PpðH ðˆ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²îTï € ðüÐðŒð”ð( ð ðŒðª ðŒ s ð*€¼Çã¿ÿˆð­ `}ð<$ñ0à  ã ð žðª ðŒ s ð*€4Éã¿ÿˆðð `ð<$ñ0à ã ð žðH ðŒ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²ðÐñ0 �ðˆàðPð ð( ð ðPðX ðPC ð¿ÿˆð°Ð ðà  Òðˆ ðPS ð€Ø�Ò¿ÿˆð° @ Ððà  Ò ð"Ÿª ðH ðP ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²ðÐñ0 �ðˆðXð ð( ð ðXðX ðXC ð¿ÿˆð°Ð ðà  áðˆ ðXS ð€ô‰á¿ÿˆð° @ Ððà  á ð"Ÿª ðH ðX ƒ ð0�ƒ“Þ½h”ŽŸ‹¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€Ì™33ÌÌÌÿ²²²ðÐñ0 �ðˆ ð`ð ð( ð ð`ðX ð`C ð¿ÿˆð°Ð ðà  âðˆ ð`S ð€¸+â¿ÿˆð° @ Ððà  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PowerPoint ÑÝʾÎĸåPowerPoint ÑÝʾÎĸåBackward Induction(Solving the game via backward inductionThe end of market street  ÒÑÓõÄ×ÖÌåÑÝʾÎĸåÉè¼ÆÄ£°åǶÈë OLE ·þÎñÆ÷ »ÃµÆÆ¬±êÌâö$_À‘ãRß ô×shuntian yaoshuntian yao  !"#$%þÿÿÿ'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•þÿÿÿ—˜™š›œ�žŸ ¡¢£þÿÿÿ¥¦§¨©ª«þÿÿÿ­®¯°±²³þÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿ¹þÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿRoot Entryÿÿÿÿÿÿÿÿ��d›Oφꪹ)èþÿÿÿPicturesÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ'KCurrent Userÿÿÿÿÿÿÿÿ¬SummaryInformation(ÿÿÿÿ–hPowerPoint Document(ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ&vßDocumentSummaryInformation8ÿÿÿÿÿÿÿÿ¤ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿRoot Entryÿÿÿÿÿÿÿÿ��d›Oφꪹ)è ëËîìóŽ@Picturesÿÿÿÿÿÿÿÿ'KCurrent Userÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ;SummaryInformation(ÿÿÿÿ–h�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•þÿÿÿ—˜™š›œ�žŸ ¡¢£þÿÿÿ¥¦§¨©ª«þÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿþÿÿÿ¹ýÿÿÿþÿÿÿþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿö!_À‘ãRß ôMC SYSTEMMC SYSTEM